2024年1月17日发(作者：)

反函数复合函数求导法则和基本求导公式

一、反函数求导法则：

设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。

证明：

对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。则根据反函数的定义可知：

f(F(x))=x

两边同时对x求导，则有：

f'(F(x))*F'(x)=1

由此可得：

F'(x)=1/f'(F(x))

这即为反函数求导法则。

二、复合函数求导法则：

设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：

dy/dx = f'(u) * g'(x)

证明：

根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：

dy/du = f'(u)

du/dx = g'(x)

将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：

dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)

这即为复合函数求导法则。

三、基本求导公式：

1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。

证明：设y=c，其中c为常数，则有：

Δy/Δx=0

当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：

dy/dx = 0

因此，常数函数的导数为0。

2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。

证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：

Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx

根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：

dy/dx = n*x^(n-1)

这就是变量的幂函数的导数公式。

3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。

4. ln(x)的导数：(ln(x))' = 1/x。

5. sin(x)的导数：(sin(x))' = cos(x)。

6. cos(x)的导数：(cos(x))' = -sin(x)。

通过求导法则和基本求导公式，我们可以对各种函数进行求导运算。需要注意的是，复合函数的求导需要运用链式法则。同时，还可以通过对导数的递推和组合，得到更加复杂的函数的导数。