2024年1月17日发(作者：)

函数的单调性、凹凸性、反函数

C单调性：能准确判断初等函数复合后的函数的单调性，能根据数形结合解题。

d凹凸性：理解函数图像凹凸性的代数意义，原理就是比较曲线上不重合两点值域的算术平均数与两点中点的函数值的大小。

比较fx12fx2xx2与f1的大小2

反函数的几个性质：

1.原函数与反函数单调性一致；

2.原函数与反函数关于y=x对称；

3.原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域

(3a1)x4a，x1f(x))上的减函数，那么a的取值范围是 例1．已知 是(，logx，x1a11111 A（0，1） B

0， C

， D

，3737解析：分段函数是R上的严格递减函数要满足两个条件： 1：分段函数的每一段是递减的； 2：左段函数的最小值右段函数的最大值；

(3a1)x4a，x1f(x)是R上的严格递减函数，logx，x1a3a1011a0a173(3a1)14alog1a 

例2. 已知函数f(x)3axa1(a1)，

（1）若a＞0 ，则f(x)的定义域是

1上是减函数，则实数a的取值范围是 . (2) 若f(x)在区间0，33解析：（1）当a＞0时，由3ax0得x，所以f(x)的定义域是，；

aa (2) 由题意知a1且a0，于是对参数a进行分类讨论同时注意定义域：

1上是减函数； ① 当a<0时，f(x)在区间0，②当0

③当a＞1时，为减函数，注意定义域的成立得到3a0，于是1a3；

例3．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：

① f(x1＋x2)=f(x1)f(x2)； ② f(x1x2)=f(x1)+f(x2)

③

f(x1)f(x2)x1x2>0； ④

f(x1x22)f(x1)f(x2)2.

当fxlgx时，上述结论中正确结论的序号是

解析：

是指数函数

是对数函数

是单调性是凸函数 答案是

例4．给出下列三个等式：f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)，

f(x)f(y)1f(x)f(y)xf(xy)，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）

Af(x)3 B

f(x)sinx Cf(x)log2x Df(x)tanx

解析： f(xy)fx()fy(是)对数函数； f(xy)fx(f)y(是)指数函数；

f(xy)f(x)f(y)是正切函数；1f(x)f(y)

f(xy)f(x)f(y)是过原点的一次函数

lg例5．在y2，yox2x，yx2y，cos2x这四个函数中，当0x1x21时，（ ） 使f(

x1x22)f(x1)f(x2)2恒成立的函数的个数是

C 2 D 3 A 0 B 1

解析：f(x1x22)f(x1)fx(22)x2是凸函数，y2和yx是凹函数，

ycos2x在0，1上有凹有凸ylog2x是凸函数

例6. 设f1(x)是函数f(x)12(axax) (a1)的反函数 ，则使f1(x)1成立的

x的取值范围为（ ）

A

(a12a2a1a1，) B

(，) C

(，a) D

[a，)

2a2a22解析：f(x)12(aaxx) (a1)是增函数，解不等式f11(x)1相当于是原函数的

定义域大于1求值域的范围，于是轻松解得f x>12(aa11(x)1的解是

)a12a2，选A

例7．设函数fx11x0x1的反函数为f1x，则

A

fB

fC

f1x在其定义域上是增函数且最大值为1

1x在其定义域上是减函数且最小值为0

x在其定义域上是减函数且最大值为1

x在其定义域上是增函数且最小值为0

1111D

f1解析：fxx0x1为连续区间上的增函数，排除B、C，

f

x的值域是0，1，选D