2024年1月10日发(作者：)

函数的定义域怎么求

试题分析

根据函数的定义为使函数的解析式有意义的自变量x取值范围，我们可以构造关于自变量x的不等式，解不等式即可得到答案.

试题解析

(1)要使函数的解析式有意义，

自变量x须满足用户：

2+x>02−x>0，可得-2

故函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)的定义域为(-2，2).

(2)∵不等式f(x)>m有解，∴m

令t=4-x2，∵-2

∵y=lgx，为增函数，

∴f(x)的最大值为lg4，

∴m的取值范围为m

6类基本初等函数之一。

对数的定义：一般地，如果ax=n(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底n的对数，记作x=logan，读作以a为底n的对数，其中a叫做对数的底数，n叫做真数。

通常地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫做对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

“log”就是拉丁文logarithm(对数)的简写，读成：[英][lɔɡ][美][lɔɡ, lɑɡ]。

一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次幂等于n，那么数b叫做以a为底n的对数，记作log(a)(n)=b,其中a叫做对数的底数，n叫做真数。

底数则必须大于0且不以1

对数的运算性质

当a>0且a≠1时,m>0,n>0，那么：

(1)log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);

(2)log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n);

(3)log(a)(m^n)=nlog(a)(m) (n∈r)

(4)再加底公式：log(a)m=log(b)m/log(b)a (b>0且b≠1)

对数与指数之间的关系

当a>0且a≠1时,a^x=n x=㏒(a)n

常用简略表达方式

(1)常用对数:lg(b)=log(10)(b)

(2)自然对数:ln(b)=log(e)(b)

(3) log(a)+(b)=log(a)(b)

通常情况下只取e=2. 对数函数的定义

对数函数的通常形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x等距的两函数互为反函数)，可以则表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1)，同样适用于于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看见对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的等距图形，因为它们互为反函数。

定义域：(0，+∞)值域：实数集r

定点：函数图像恒过定点(1，0)。

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸;

0减至函数，并且下凹陷。<1时，在定义域上以单调

奇偶性：非奇非偶函数

周期性：不是周期函数

零点：x=1

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域(特别就是天文学)的发展上经常碰到大量高精度而又巨大的数值排序，于是数学家们为了谋求化简的计算方法而发明者了对数。

德国的史提非(-)在年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列(叫原数)，右边是一个等差数列(叫原数的代表，或称指数，德文是exponent ，有代表之意)。

欲求左边任两数的积(商)，只要先求出来其代表(指数)的和(高)，然后再把这个和(高)对向左边的一个原数，则此原数即为所求之内积(商)，可是史戈尔诺并未并作进一步积极探索，没导入对数的概念。

纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方 法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为nap.㏒x，它与自然对数的关系为nap.㏒x=㏑(/x)

由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数存有一定的距离。

瑞士的彪奇(-)也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟()。

英国的布里格斯在年缔造了常用对数。

年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以为底)。

对数的发明者为当时社会的发展起至了关键的影响，正像科学家伽利略(-)说道：「给我时间，空间和对数，我可以缔造出来一个宇宙」。又例如十八世纪数学家拉普拉斯( -)亦提及：「对数用延长排序的时间去并使天文学家的寿命加倍」。

最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯(-)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.中，2叫「真数」，0.叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。

我国清代的数学家戴煦(-)发展了多种的谋对数的捷法，著存有《对数简法》()、《Chinian对数简法》()等。年，英国的数学家艾约瑟(-) 看见这些著作后，大为赞叹。

当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。年 ，j.威廉(-)在给g.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》()中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。