2024年1月7日发(作者：)

[例题2.1]

码值10000001B，若表示一个无符号数，则该数为27＋20＝129；若是一个带符号数的原码表示，则该数为－0000001B＝－1；若是一个带符号数的补码表示，则该数为－1111111B＝－127

 规格化的浮点数

 浮点数的阶码决定了浮点数的表示范围，浮点数的尾数决定了浮点数的表示精度

 定义：有效尾数占满尾数的所有位

即对于非0的尾数，规格化尾数应满足1/2≤|M|<1

原码规格化后：正数0.1×××的形式；负数1.1×××的形式

补码规格化后：正数0.1×××的形式；负数1.0×××的形式(－1/2为1.100„0比较特殊)

 浮点数的表示范围

设阶码m＋1位补码表示，尾数n+1位补码,规格化

最大正数

非0最小正数

最大负数

最小负数

 溢出

 定点数：超出字长所表示的范围即为溢出

 浮点数：规格化后，阶码超出机器的最大阶码，即为上溢；阶码小于机器最小阶码，即为下溢。（不看尾数，只看阶码）

 二进制乘法

 原码一位乘法规则：

① 被乘数和乘数取绝对值参加运算，符号位单独处理

② 被乘数取双符号，部分积长度同被乘数，初值为0

③ 从乘数的最低位yn开始判断，若yn＝1，则部分积加上被乘数，然后右移一位；若yn＝0，部分积加上0，然后右移一位。

④ 重复③，共n次（n次“加－右移）n为小数点后数值部分位数

 补码一位乘法规则（Booth算法）：

① 符号位参加运算，运算的数均以补码表示

② 被乘数取双符号，部分积初值为0

浮点数代码

阶码

01„„1（2-1）

10„„0（－2m）

10„„0（－2m）

01„„1（2m-1）

m尾数

0.11„„1（1－2）

0.10„„0（2-1）

1.10„„0（－2-1）

1.00„„0（－1）

-n真值

n2m(122)221

12m

m(2)2(1)2212

m1

③ 乘数最低位增加一位Yn+1，初值为0

④ 逐次比较相邻两位，并按下列规则运算

Yn(高位) Yn+1(低位) 操作

0 0

1

0

1

部分积右移

部分积+[-X]补，右移

部分积+[X]补,右移

0

1

1 部分积右移

移位按补码右移规则，即复制最高位（符号位）

⑤ 按照上述算法作n+1步操作，但最后一步不移位（∵补码符号位也是数值一部分，故共做n+1次加法，n次右移）

[例题2.2]

已知X=0.1101,Y=-0.1011，用原码一位乘计算X×Y

解：乘积符号位＝1

部分积

00.0000

00.1101

00.1101

00.0110 1

00.1101

01.0011 1

|乘数| 说明

0.1011

0.101

yn＝0，则部分积加上0,右移

yn＝1，则部分积加上被乘数,右移

yn＝1，则部分积加上被乘数,右移

+

右移

+

右移

右移

+

右移

yn＝1，则部分积加上被乘数,右移

00.1001 11 0.10

00.0100 111 0.1

00.1101

01.0001 111

00.1000 1111

∴ X×Y＝-0.1000 1111

[例题2.3]

已知X=0.1101,Y=-0.1011，用补码一位乘计算X×Y

解：[X]补=00.1101,[-X] 补=11.0011，[Y] 补=1.0101

部分积 乘数 ynyn+1 说明

00.0000

11.0011

11.0011

11.1001 1

00.1101

1.0101

ynyn+1=01, 部分积+[X]补，右移

进位1舍去

ynyn+1=10, 部分积+[-X]补，右移

1.01010

增加一位yn+1=0,ynyn+1=10, 部分积+[-X]补，右移

右移

1 00.0110 1

右移 00.0011 01 1.010

右移

11.0011

11.0110 01

11.1011 001

1.01 ynyn+1=01, 部分积+[X]补，右移

00.1101

进位1舍去

ynyn+1=10, 部分积+[-X]补，最后一步不右移

1 00.1000 001

右移 00.0100 0001 1.0

11.0011

11.0111 0001

 二进制除法

∴ [X×Y] 补＝1.0111 0001 X×Y＝-0.1000 1111

 原码一位除法（不恢复余数法，加减交替法）规则：

①

②

③

符号位不参加运算，并要求|X|<|Y|

先用被除数减去除数

若余数为正，商上1，余数左移1位减除数；

若余数为负，商上0，余数左移1位加除数

④ 重复③n次(n为数值部分位数)，当最后一步(第n+1步)余数为负时，需加上|Y|得到正余数

[例题2.4]

已知X=-0.01010,Y=-0.01100，用原码加减交替法计算X÷Y

解：同号数相除，得出的商和余数的符号位均为正

|X|=0.01010 ,|Y|=0.01100, [-|Y|]补=1.10100

－Y

被除数(余数)

0.01010

1.10100

1.11110

0.11010 余数为负，商上0

最后一步得出的余数为负，加上除数进行修正

0.1101 余数为正，商上1，下一步“左移－减”

0.11 余数为正，商上1，下一步“左移－减”

0.1 余数为正，商上1，下一步“左移－减”

0

商

说明

第一步先减除数

余数为负，商上0，下一步“左移－加”

左移 1.11100

＋Y 0.01100

0.01000

左移 0.10000

－Y 1.10100

0.00100

左移 0.10000

－Y

1.10100

1.11100 0.110 余数为负，商上0，下一步“左移－加”

左移 1.11100

＋Y 0.01100

0.00100

左移 0.10000

－Y 1.10100

1.11100

＋Y 0.01100

0.01000

∴X÷Y＝-0.11010 余数0.01000×2－5

 补码一位除法规则：

① 参加运算的数用补码表示，符号位参加运算， 商、余数均为补码，并自带符号

② 若被除数与除数同号，则减去除数；若被除数与除数异号，则加上除数

③ 若余数与除数同号，商上1，下次左移后做减；若异号，商上0，下次左移后做加

④ 重复③，连同符号位一共做n＋1次(n为数值部分位数)；商末尾恒置1（末位有误差）

 浮点数加减运算

① 对阶：向大阶看齐

a) 先求Ex，Ey之差：△E＝Ex－Ey

b) 阶码小的数尾数右移| △E |位

② 右移后的尾数相加减

③ 结果规格化

④ 舍入

⑤ 判溢：根据阶码判断

[例题2.5]

设浮点数字长16位，其中阶码8位，以2为底；尾数8位，规格化。都用双符号位补码表示。X＝2×11/16,Y=2×13/16,求X＋Y＝？写出运算过程。

解：Mx=11/16＝1011×2＝0.1011

－4－4－3 My=13/16＝1101×2＝0.1101

－4Ex＝－4 [Ex]补＝11,11 1100 [Mx]补=00.101100

Ey＝－3 [Ey]补＝11,11 1101

(1)求阶差：

[△E] 补＝[Ex－Ey] 补＝[Ex]补＋[－Ey]补＝11,111100＋00,000011＝11，111111

∴△E=-1 Mx右移1位

X’： [Mx’]补=00.010110 [Ex’]补＝11,11 1101

(2) [Mx’]补+[My]补=00.010110+00.110100=01.001010(看似有溢出)

(3)规格化：将相加后的尾数右移1位，变为00.100101 （0舍去）

相应地阶码加1，变为11,11 1110

(4)规格化后的阶码无溢出

∴X＋Y＝00.100101（尾） 11,111110（阶）

即X＋Y＝0.100101×2－2

[－Ey]补＝00,000011 [My]补=00.110100